Сумма двух векторов — законы сложения и правило параллелограмма. Презентация 9 класс
В мире математики векторы играют важную роль и имеют широкое применение во многих областях. Изучение их свойств и операций с ними является неотъемлемой частью курса алгебры и геометрии. В одной из предыдущих статей мы рассмотрели понятие вектора и его свойства. Теперь настало время узнать о законах сложения векторов и применении правила параллелограмма.
Законы сложения векторов позволяют нам определить сумму двух векторов. Первый закон гласит, что сумма двух векторов равна вектору, который получается при поочередном направленном переносе этих векторов. То есть, мы берем начало первого вектора, смещаемся по нему до конца, затем из этой точки начинаем следующий вектор и опять смещаемся до его конца. Итоговый вектор будет именно той суммой, которую мы искали.
Второй закон сложения векторов гласит, что сумма двух векторов равна вектору, который получается при построении параллелограмма, у которого сторонами служат эти два вектора. Таким образом, мы берем начало первого вектора, строим по нему сторону параллелограмма, затем второй вектор становится второй стороной. Итоговый вектор будет являться диагональю этого параллелограмма.
Законы сложения векторов
Первый закон сложения векторов гласит, что порядок сложения не влияет на результат. То есть, если мы сначала сложим векторы A и B, а затем вектор C, или сначала сложим B и C, а затем вектор A, результат будет одинаковым.
Второй закон сложения векторов — закон коммутативности. Он утверждает, что порядок слагаемых в сумме не влияет на результат. То есть, вектор A + B будет равен вектору B + A.
Третий закон сложения векторов — закон ассоциативности. Этот закон говорит о том, что при сложении трех и более векторов результат будет одинаковым, независимо от того, как мы будем их складывать. То есть, (A + B) + C будет равно A + (B + C).
Знание этих законов позволяет нам упростить вычисления и корректно проводить операции сложения векторов. Они являются основой для дальнейшего изучения векторов и их применения в различных областях науки и техники.
Коммутативный закон
Формально, если имеются два вектора а и б, то по коммутативному закону можно утверждать, что а + б = б + а.
Коммутативный закон является одним из основных математических свойств векторной алгебры и играет важную роль в решении задач, связанных с перемещением и силами.
Определение коммутативного закона сложения векторов
Коммутативный закон сложения векторов утверждает, что порядок сложения векторов не влияет на итоговую сумму. Другими словами, это означает, что если имеются два вектора а и b, то их сумма а + b будет равна сумме b + a.
Этот принцип можно наглядно продемонстрировать с помощью операции сложения векторов на прямоугольной системе координат. Если представить векторы а и b как движение по осям x и y, то результат их сложения будет одинаковым, независимо от того, какой вектор суммируется первым.
Например, если вектор а указывает на север (по направлению оси y), а вектор b указывает на восток (по направлению оси x), то их сумма будет указывать на северо-восток. То есть, вектор а + b будет равен вектору b + a и будет указывать на северо-восток, независимо от того, какой вектор суммируется первым.
Пример применения коммутативного закона
Коммутативный закон сложения векторов позволяет менять порядок слагаемых без изменения результата. Это означает, что если мы сложим два вектора, а затем поменяем их местами, то получим ту же сумму векторов.
Давайте рассмотрим следующий пример. Пусть у нас есть два вектора A и B:
A = 3i + 2j
B = 4i — 5j
Согласно коммутативному закону, мы можем поменять местами эти два вектора при их сложении:
A + B = B + A
Следовательно, если мы сначала сложим векторы A и B:
A + B = (3i + 2j) + (4i — 5j) = 7i — 3j
А затем поменяем их местами и сложим:
B + A = (4i — 5j) + (3i + 2j) = 7i — 3j
Мы видим, что оба выражения дают одинаковый результат. Это иллюстрирует применение коммутативного закона сложения векторов.
Ассоциативный закон
Пусть имеются три вектора a, b и c. Тогда по ассоциативному закону выполняется следующее равенство:
(a + b) + c = a + (b + c)
Это означает, что результат сложения векторов a и b суммируется с вектором c, и затем полученная сумма складывается с вектором a. Второй вариант предполагает сложение векторов b и c, а затем полученная сумма суммируется с вектором a. Результаты этих двух способов сложения будут равны.
Ассоциативный закон является следствием коммутативного закона сложения векторов. Он позволяет упростить вычисления при сложении большого количества векторов, так как можно менять их порядок сложения без изменения результата.
Определение ассоциативного закона сложения векторов
Ассоциативный закон сложения векторов гласит, что сумма трех и более векторов не зависит от порядка их сложения. В математике этот закон можно записать следующим образом:
Для любых векторов A, B и C справедливо равенство:
A + (B + C) = (A + B) + C
Это означает, что порядок сложения векторов не влияет на результат, и векторы можно складывать по любому удобному для решения задачи порядку.
Ассоциативный закон сложения векторов можно геометрически интерпретировать с помощью правила параллелограмма. Согласно этому правилу, сумма двух векторов равна вектору, чьи начало совпадает с началом первого вектора, а конец – с концом второго вектора.
Пример применения ассоциативного закона
Ассоциативный закон сложения векторов гласит, что порядок сложения векторов не имеет значения.
Рассмотрим пример: имеется три вектора — A, B и C. Пусть A = (3, 4), B = (2, -1) и C = (-1, 2).
Согласно ассоциативному закону, можно сложить векторы A и B в любом порядке и затем прибавить к полученному результату вектор C, или сначала сложить векторы B и C, а затем прибавить к результату вектор A.
| A + B + C | = | (3, 4) + (2, -1) + (-1, 2) | = | (4, 3) |
| B + C + A | = | (2, -1) + (-1, 2) + (3, 4) | = | (4, 3) |
Как видно из примера, результат сложения векторов A, B и C не зависит от порядка их сложения, что подтверждает ассоциативный закон.
Вопрос-ответ:
Как суммируются векторы?
Векторы суммируются по правилу параллелограмма, то есть, чтобы найти сумму двух векторов, мы проводим второй вектор из начала первого вектора и соединяем конец первого вектора с концом второго вектора. Полученный вектор является суммой исходных векторов.
Как формулируются законы сложения векторов?
Закон коммутативности утверждает, что порядок сложения векторов не важен: A + B = B + A. Закон ассоциативности утверждает, что сложение векторов ассоциативно: (A + B) + C = A + (B + C).
Что такое правило параллелограмма?
Правило параллелограмма утверждает, что при сложении двух векторов, если мы проведем второй вектор из начала первого вектора и соединим конец первого вектора с концом второго вектора, то полученный вектор будет равен сумме исходных векторов. Графически это может быть представлено как параллелограмм, с противоположными сторонами представляющими исходные векторы.
Какие законы сложения векторов существуют?
Существуют два основных закона сложения векторов. Закон коммутативности утверждает, что порядок сложения векторов не важен: A + B = B + A. Закон ассоциативности утверждает, что сложение векторов ассоциативно: (A + B) + C = A + (B + C).
Можно ли сложить два вектора в двумерном пространстве без использования правила параллелограмма?
Нет, для сложения двух векторов в двумерном пространстве необходимо использовать правило параллелограмма. Это правило позволяет найти сумму двух векторов, соединяя их концы и проводя второй вектор из начала первого.
Как суммировать два вектора?
Для суммирования двух векторов необходимо сложить их координаты: x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2 (если вектор трехмерный), где x1 и x2 — координаты по оси X первого и второго векторов соответственно, y1 и y2 — координаты по оси Y, z1 и z2 — координаты по оси Z.